La borne supérieur d'une partie \(F\) d'un ensemble \((E, \preceq)\) partiellement ordonné (\(\mathbf{N}\) ou \(\mathbf{R}\) par exemple) est, si elle existe, le plus petit des majorants de \(F\) dans \(E\) et est unique. On la note \(\sup F\). Mathématiquement, si la borne supérieure existe, \(\sup F\) est l'unique élement de E étant :

• Un majorant : \(\forall x \in F, x \preceq \sup F\)
• Le plus petit des majorants : \(\forall x \text{ majorant de F dans E}, \sup F \preceq x\)

De même, la borne inférieure, si elle existe, est le plus grand des minorants de \(F\) dans \(E\) et est unique. On la note \(\inf F\). Mathématiquement, la borne inférieure existe, \(\inf F\) est l'unique élement de E étant :

• Un minorant: \(\forall x \in F, \sup F \preceq x\)
• Le plus grand des minorants : \(\forall x \text{ minorant de F dans E}, x \preceq \sup F\)

Dans \(\mathbf{R}\), la borne supérieure d'une partie \(F\) peut être caractérisée ce qui facilite sa manipulation. Pour \(M \in \mathbf{R}\), la caractérisation est la suivante :

$$M = \sup F \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases}
\forall x \in F, x \leq M \\
\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M - x < \varepsilon
\end{cases}$$

De même, pour \(m \in \mathbf{R}\), la borne inférieure peut être aussi caractérisée par :

$$m = \inf F \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases}
\forall x \in F, m \leq x \\
\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, x - m < \varepsilon
\end{cases}$$Intuitivement, la borne supérieure de \(F\) est le seul majorant de \(F\) pouvant être approché par des élements de \(F\) de manière infiniment proche. Idem, pour la borne inférieure.

Dans le reste de cet article, nous ne démontrerons que la caractérisation de la borne supérieure, celle pour la borne inférieure étant similaire.

Démonstrations

Soit \(F\) une partie de \(\mathbf{R}\) admettant une borne supérieure. Soit \(M \in \mathbf{R}\).

Supposons que \(M = \sup F\), alors par définition :

$$\begin{cases} \forall x \in F, x \leq M \\
\forall x \text{ majorant de F dans E}, M \leq x \end{cases}$$

Comme \(M\) est le plus petit majorant de \(F\), pour tout \(\varepsilon > 0\), \(M-\varepsilon\) n'est pas un majorant de \(F\) (car \(M-\varepsilon < M\)). Par conséquent, en utilisant la négation de la proposition "est un majorant", on obtient :

$$\begin{cases} \forall x \in F, x \leq M \\
\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M - x < \varepsilon \end{cases}$$Supposons que \(\begin{cases} \forall x \in F, x \leq M \\ \forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M - x < \varepsilon \end{cases}\)

Et supposons que \(M\) ne soit pas le plus petit des majorants de \(F\) ie \(\exists \varepsilon > 0, M-\varepsilon\) majorant ie \(\exists \varepsilon > 0, \forall x \in F, x \leq M - \varepsilon\) ie \(\exists \varepsilon > 0, \forall x \in F, \varepsilon \leq M - x\), ce qui est contraire à la supposition initiale. Par conséquent, \(M\) est le plus petit des majorants de \(F\).