L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes est la suivante :

$$\left(\sum_{k = 1}^{n} a_k b_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)$$

Le but de l'article est de la démontrer.

Démonstration

La démonstration consiste à étudier la fonction suivante :

$$f(x) = \sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2$$

La première chose que nous pouvons remarquer est que :

$$(a_k x + b_k)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Ensuite, essayons de développer \(f(x)\) :

$$\begin{align} f(x) &= \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 x^2 + 2a_k b_k x + b_k^2) = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 x^2 + \sum_{k=1}^{n} 2 a_k b_k x + \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \\ &= \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right) x^2 + 2\left(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k\right) x + \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \end{align}$$

La 2ème chose que nous pouvons remarquer est que \(f(x)\) est un polynôme du 2nd degré. Par conséquent, comme nous venons de voir que \(f(x)\) est aussi positive, \(\Delta \leq 0\). Donc :

$$\left(2\left(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k\right)\right)^2 - 4 \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad 4\left(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k\right)^2 \leq 4 \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)$$

Il ne nous reste plus qu'à simplifier par 4 et nous obtenons la fameuse inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes !