Au lycée, en début de 1ère, nous apprenons à résoudre des équations du 2nd degré, mais ne voyons pas, ou très rapidement, comment résoudre des équations du 3ème degré, de la forme \(a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d = 0\).

Le but de cet article est donc de vous montrer la démonstration permettant d'arriver à trouver les racines des polynômes de ce type. Pour se faire, nous aurons besoin de mêler 2 méthodes :

• la méthode de Cardan
• la méthode de Tschirnhaus

La méthode de Cardan

La méthode de Cardan est un algorithme permettant de résoudre les équations polynomiales dépréciées de degré 3 du type \(x^3 + cx + d = 0\). Le but est donc de trouver une formule qui permettrait de résoudre des équations de ce type pour n'importe quelle valeur de \(c\) et \(d\).

Pour cela, posons \(x = u + v\) ce qui nous donne :

$$\begin{align} &(u+v)^3 + c(u+v) + d = 0 \\ \Rightarrow \quad & u^3 + v^3 + 3u^2v + 3uv^2 + uc + vc = -d​ \\ \Rightarrow \quad & u^3 + v^3 + (u+v)(3uv + c) = -d \end{align}$$

Ensuite, prenons \(u\) et \(v\) tels que \(uv = -\frac{c}{3}\). Dans ce cas, on obtient :

$$\begin{cases} u^3 + v^3 = -d \\ (uv)^3 = u^3 v^3 = \left(-\frac{c}{3}\right)^3 = -\frac{c}{27} \end{cases}$$Posons \(U=u^3\) et \(V=v^3\), solutions de l'équation :

$$\begin{align} & (x - U)(x - V) = 0 \\ \Rightarrow \quad & x^2 - (U+V)x + UV = 0 \\ \Rightarrow \quad & x^2 +dx - \frac{c^3}{27} = 0\end{align}$$Résolvons cette équation du 2^e degré pour trouver les valeurs de \(U\) et \(V\) :

$$\Delta = d^2 + \frac{4c^3}{27} \\ U = \frac{-d - \sqrt{\Delta}}{2} \\ V = \frac{-d + \sqrt{\Delta}}{2}$$

Comme \(x = u+v = \sqrt[3]{U} + \sqrt[3]{V}\),

$$x = \sqrt[3]{\frac{-d - \sqrt{\Delta}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-d + \sqrt{\Delta}}{2}}$$L'algorithme est fini. Nous venons de trouver la formule permettant de calculer une racine de n'importe quel polynôme du 3^e degré sous la forme \(f(x) = x^3 + c \cdot x + d\).

La démonstration avec la méthode de Tschirnhaus

Maintenant que nous avons compris comment fonctionne la méthode de Cardan, passons à la démonstration et considérons le polynôme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

Nous cherchons une formule pour calculer les racines de \(f(x)\) au nombre de 3 car le polynôme est de degré 3. Nous les noterons \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\).

Ici, la méthode de Cardan ne peut pas s'appliquer directement sur \(f(x)\). Il nous faut d'abord déprécier le polynôme pour qu'il soit du type \(x^3 + cx + d\), et cela grâce à la méthode de Tschirnhaus.

Commençons par poser \(x = t - \frac{b}{3a}\) et résolvons \(f(x) = 0\) :

$$\begin{align} & a(t-\frac{b}{3a})^3 + b(t-\frac{b}{3a})^2 + c(t-\frac{b}{3a}) + d = 0 \\
\Rightarrow \quad & (t-\frac{b}{3a})^3 + \frac{b}{a}(t-\frac{b}{3a})^2 + \frac{c}{a}(t-\frac{b}{3a}) + \frac{d}{a} = 0 \\
\Rightarrow \quad & (t^3 - \frac{3b}{3a}t^2 + \frac{3b^2}{9a^2}t - \frac{b^3}{27a^3}) + \frac{b}{a}(t^2 - \frac{2b}{3a}t + \frac{b^2}{9a^2}) + \frac{c}{a}(t - \frac{b}{3a}) + \frac{d}{a} = 0 \\
\Rightarrow \quad & t^3 - \frac{b}{a}t^2 + \frac{b^2}{3a^2}t - \frac{b^3}{27a^3} + \frac{b}{a}t^2 - \frac{2b^2}{3a^2}t + \frac{b^3}{9a^3} + \frac{c}{a}t - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = 0 \\
\Rightarrow \quad & t^3 + (\frac{b^2}{3a^2} - \frac{2b^2}{3a^2} + \frac{c}{a})t + (\frac{b^3}{9a^3} - \frac{b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2}) = 0 \end{align}$$Nous obtenons une équation de la forme \(t^3 + pt + q = 0\) où :

$$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2} \\ q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation en utilisant la méthode de Cardan, ce qui nous donne :

$$\Delta_{1} = q^2 + \frac{4p^3}{27} \\ t = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta_{1}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta_{1}}}{2}}$$Comme \(x = t - \frac{b}{3a}\), nous obtenons la valeur de \(x\) ou plutôt \(x_{1}\) (1^ère des 3 racines de \(f(x)\)) :

$$x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta_{1}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta_{1}}}{2}} - \frac{b}{3a}$$Puisque nous connaissons maintenant la 1^ère racine de \(f(x)\), nous pouvons écrire cette fonction sous la forme \(f(x) = (x - x_{1})(a'x^2 + b'x + c')\).

Comme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), nous pouvons identifier les valeurs de \(a'\), \(b'\) et \(c'\) en posant :

$$(x - x_{1})(a'x^2 + b'x + c') = ax^3 + bx^2 + cx + d \\ a'x^3 + (b' - a'x_{1})x^2 + (c' - b'x_{1})x - c'x_{1} = ax^3 + bx^2 + cx + d$$nous donnant le système suivant :

$$ \begin{cases} a' = a \\b' - a'x_{1} = b \\c' - b'x_{1} = c \\-c'x_{1} = d \end{cases}$$et nous permettant d'en déduire que

$$\begin{cases} a' = a \\ b' = b + ax_{1} \\ c' = c + (b+ax_{1})x_{1} \end{cases}$$Par conséquent, \(f(x) = (x-x_{1})(ax^2 + (b+ax_{1})x + (c + (b+ax_{1})x_{1}))\) et il nous est ainsi possible de trouver les valeurs de \(x_{2}\) et \(x_{3}\) en résolvant l'équation du 2^e degré :

$$ax^2 + (b+ax_{1})x + (c + (b+ax_{1})x_{1}) = 0$$Donnant :

$$\Delta_{2} = (b+ax_{1})^2 - 4a(c+(b+ax_{1})x_{1}) \\ x_{2} = \frac{-b - ax_{1} - \sqrt{\Delta_{2}}}{2a} \\ x_{3} = \frac{-b - ax_{1} + \sqrt{\Delta_{2}}}{2a}$$La démonstration est finie ! Nous venons de trouver la formule qui permet d'obtenir les 3 racines d'un polynôme du 3^e degré.