Le théorème que nous allons démontrer est le théorème des gendarmes, aussi appelé théorème de la limite par encadrement. En voici un énoncé :

Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) 3 suites.
Si \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(l\) et si, à partir d'un certain rang, \(v_n \leq u_n \leq w_n\), alors \((u_n)\) converge vers \(l\).

Démonstration

Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) 3 suites. Supposons que \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(l\) et  qu'à partir d'un certain rang \(N_1\), \(v_n \leq u_n \leq w_n\).

D'après la définition de la convergence d'une suite :

$$\begin{cases}\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n-l| \leq \varepsilon \\\forall\varepsilon>0,\exists N_3\in\mathbb{N} | n \geq N_3 \Rightarrow |w_n-l| \leq \varepsilon\end{cases}$$

Par conséquent, à partir du rang \(\max(N_2, N_3)\) :

$$\begin{cases}  |v_n-l| \leq \varepsilon \\ |w_n-l| \leq \varepsilon \end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases} l-\varepsilon \leq v_n \leq l+\varepsilon  \\ l-\varepsilon \leq w_n \leq l+\varepsilon
  \end{cases}$$

Comme \(v_n \leq u_n \leq w_n\) à partir du rang \(N_1\), à partir du rang \(\max(N_1, N_2, N_3)\) :

$$l-\varepsilon \leq v_n \leq u_n \leq w_n \leq l+\varepsilon \quad \Rightarrow \quad |u_n -l| \leq \varepsilon$$

Donc :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N = \max(N_1, N_2, N_3) \in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n-l| \leq \varepsilon$$

Ce qui revient à dire que \(u_n \longrightarrow l\).