Nous allons démontrer les résultats suivants :

Soit \((u_n)\) une suite convergeant vers \(l_1 \in \mathbb{R}\) et \((v_n)\) une suite convergeant vers \(l_2 \in \mathbb{R}^*\). Alors :

$$\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}|u_n|=|l_1| \\
&\lim_{n\to\infty}u_n+v_n=l_1+l_2 \\
&\lim_{n\to\infty}u_n \cdot v_n=l_1 \cdot l_2 \\
&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{v_n}=\frac{1}{l_2} \\
&\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l_1}{l_2}
\end{align*}$$

Démonstration

Valeur absolue

Comme \(u_n\longrightarrow l_1\), d'après la définition :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n-l_1| \leq \varepsilon$$

Or, l'inégalité triangulaire nous dit que \(||u_n| - |l_1|| \leq |u_n - l_1|\). Donc :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow ||u_n| - |l_1|| \leq |u_n-l_1| \leq \varepsilon$$Soit :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow ||u_n| - |l_1|| \leq \varepsilon$$Ce qui revient à dire que \(|u_n|\longrightarrow |l_1|\).

Addition

Comme \(u_n\longrightarrow l_1\) et \(v_n\longrightarrow l_2\), d'après la définition :

$$\begin{cases}
\forall\varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n - l_1| \leq \frac{\varepsilon}{2}\\
\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n - l_2| \leq \frac{\varepsilon}{2}\\
\end{cases}$$

A partir du rang \(\max(N_1, N_2)\), on a :

$$\begin{cases}
|u_n - l_1| \leq \frac{\varepsilon}{2}\\
|v_n - l_2| \leq \frac{\varepsilon}{2}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
|u_n - l_1| +|v_n - l_2| \leq \varepsilon
$$

Donc :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N = \max(N_1, N_2) \in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n - l_1| +|v_n - l_2| \leq \varepsilon$$

Or, d'après l'inégalité triangulaire, \(|(u_n + v_n) - (l_1+l_2)| = |(u_n-l_1)+(v_n-l_2)| \leq |u_n-l_1| + |v_n - l_2|\).

Par conséquent :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |(u_n + v_n) - (l_1+l_2)| \leq \varepsilon$$Ce qui revient à dire que \(u_n + v_n \longrightarrow l_1+l_2\).

Multiplication

D'après l'inégalité triangulaire :

$$|u_n \cdot v_n - l_1 \cdot l_2| = |(u_n - l_1)\cdot v_n + (v_n - l_2)\cdot l_1| \leq |u_n - l_1||v_n|+|v_n-l_2||l_1|$$

Comme \((v_n)\) converge vers \(l_2\), la suite est donc bornée par un réel \(M\). Par conséquent :

$$|u_n \cdot v_n - l_1 \cdot l_2| \leq |u_n - l_1||M|+|v_n-l_2||l_1|$$

Comme \(u_n\longrightarrow l_1\) et \(v_n\longrightarrow l_2\) :

$$\begin{cases}
\forall\varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n - l_1| \leq \frac{\varepsilon}{2\cdot M}\\
\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n - l_2| \leq \frac{\varepsilon}{2\cdot l_1}\\
\end{cases}$$

A partir du rang \(\max(N_1, N_2)\), on a :

$$\begin{cases}
|u_n - l_1| \leq \frac{\varepsilon}{2\cdot M}\\
|v_n - l_2| \leq \frac{\varepsilon}{2\cdot l_1}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
|u_n - l_1||M| +|v_n - l_2||l_1| \leq \varepsilon
$$

Donc :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N = \max(N_1, N_2) \in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n - l_1||M| +|v_n - l_2||l_1| \leq \varepsilon$$

Et par conséquent :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N \in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n \cdot v_n - l_1 \cdot l_2| \leq \varepsilon$$Ce qui revient à dire que \(u_n\cdot v_n\longrightarrow l_1\cdot l_2\)

Inverse

Nous avons :

$$|\frac{1}{v_n} - \frac{1}{l_2}| = |\frac{v_n - l_2}{v_n \cdot l_2}| = \frac{|v_n - l_2|}{|v_n| \cdot |l_2|}$$

Comme \(v_n\longrightarrow l_2\) :

$$\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |v_n| \geq \left|\frac{l_2}{2}\right|$$A partir de ce rang \(N_1\) :

$$|\frac{1}{v_n} - \frac{1}{l_2}| \leq \frac{|v_n-l_2|}{\frac{|l_2|^2}{2}} = \frac{2\cdot |v_n-l_2|}{|l_2|^2}$$

De plus, comme \((v_n)\) converge vers \(l_2\), d'après la définition :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n - l_2| \leq \frac{|l_2|^2}{2}\cdot \varepsilon$$

Donc, à partir du rang \(\max(N_1, N_2)\) :

$$\frac{2\cdot |v_n-l_2|}{|l_2|^2} \leq \varepsilon \quad \Rightarrow \quad |\frac{1}{v_n} - \frac{1}{l_2}| \leq \varepsilon$$

Par conséquent :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N = \max(N_1, N_2) \in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |\frac{1}{v_n} - \frac{1}{l_2}| \leq \varepsilon$$Ce qui revient à dire que \(\frac{1}{v_n}\longrightarrow \frac{1}{l_2}\)

Division

Cette démonstration est vraiment très simple, tout le travail a déjà été fait avec la multiplication et l'inverse car :

$$\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n}$$

Donc, comme \(v_n\longrightarrow l_2\), par passage à l'inverse, \(\frac{1}{v_n}\longrightarrow \frac{1}{l_2}\), et comme \(u_n\longrightarrow l_1\), par produit :

$$\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n}  \longrightarrow l_1\cdot \frac{1}{l_2} = \frac{l_1}{l_2}$$