L'assertion que nous allons démontrer est :

Si une suite converge, alors elle est bornée.

Démonstration

Soit une suite \((u_n)\) qui converge vers une limite \(l\).

D'après la définition de la convergence :

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n-l| \leq \varepsilon$$

Cette assertion étant vraie \(\forall\varepsilon > 0\), elle est vraie, par exemple, pour \(\varepsilon = 1\). Donc :

$$\exists N\in\mathbb{N} | n \geq N \Rightarrow |u_n-l| \leq 1$$

A partir du rang \(N\), la suite est bornée car :

$$|u_n-l| \leq 1 \quad \Rightarrow \quad l-1 \leq u_n \leq l+1 \quad \Rightarrow \quad |u_n| \leq \max(|l-1|, |l+1|)$$

Avant le rang \(N\), la suite est aussi bornée car :

$$\forall n \in[[0, N-1]], |u_n| \leq \max(|u_0|, ..., |u_{N-1}|)$$

Par conséquent, la suite \((u_n)\) est bornée et :

$$\forall n\in\mathbb{N}, |u_n| \leq \max(|u_0|, ..., |u_{N-1}|, |l-1|, |l+1|)$$